Materia: Matematica
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Il concetto di limite Il concetto di limite si presta molto bene a un’esposizione per non professionisti, in quanto intuitivamente non è molto difficile, anche se la sua formalizzazione ha presentato non pochi problemi ai matematici. Immaginiamo una normale funzione, y = f(x) (vedi geometria analitica), se noi vogliamo calcolare il valore che assume la y quando la x diventa grandissima cosa possiamo fare? Intuitivamente possiamo immaginare che la x diventa infinitamente grande, ma infinito non è certo un numero che possiamo raggiungere operativamente; in questo caso possiamo usare l’operazione matematica chiamata appunto limite, che ci dice come si comporta la y quando la x tende a infinito, cioè diventa grandissima, senza ovviamente diventare effettivamente infinito, per capire bene questo fatto possiamo dire che se noi troviamo un valore assunto dalla y quando la x in valore assoluto supera qualsiasi numero positivo arbitrariamente scelto da noi allora diciamo che quello è il limite di y per x che tende a infinito. Spesso accade che quando x tende a infinito anche la y tende a infinito, cioè anche la y diventa più grande di qualsiasi numero scelto. Si noti che si dice sempre che la x tende a un certo valore, cioè noi non sappiamo cosa succede quando la x diventa effettivamente infinitamente grande (e non c’è modo di saperlo), ma solo quando ci si avvicina quanto si vuole; la stessa cosa vale per la y, che non assume mai il valore che coincide con il limite, ma ci si avvicina solamente. In questo modo possiamo dire che x tende a infinito, a + infinito (cioè è arbitrariamente grande ma positivo) o a - infinito (cioè è arbitrariamente grande ma negativo). Tuttavia è anche possibile stabilire cosa succede quando x tende a un certo valore ben definito, e osservare a che valore tende allora la y. Per esempio consideriamo la retta di equazione y = x, per x che tende a infinito anche y tende a infinito, ma per x che tende a 2 che cosa succede? In questo caso si può dimostrare che facendo diventare la x arbitrariamente vicina a 2 anche la y diventa arbitrariamente vicina a 2, cioè il limite coincide con il valore della funzione. Questo però non è vero per tutte le funzioni, esistono funzioni per cui non è vero solo in alcuno punto, altre per cui non è vero in infiniti punti. Vediamo un esempio del primo caso: consideriamo la funzione y = 1/x, per x = 0 la funzione non è definita, mentre per x che tende a 0 y tende a infinito, perché si dimostra che facendo avvicinare x arbitrariamente a 0 y diventa arbitrariamente grande, vediamo che i due valori sono differenti, in questo punto la funzione ha una discontinuità, se la funzione non presenta queste discontinuità si dice che essa è continua. Si può pensare che le discontinuità si presentino solo dove la funzione non è definita, invece esistono anche delle discontinuità diverse da queste, per esempio dove la funzione fa dei “salti bruschi”. Esistono dei punti in certe funzioni in cui non è possibile calcolare il limite, principalmente perché in questi punti si comporta molto “stranamente”, vediamo come può non esistere il limite in questo modo: se immaginiamo di avvicinarci al punto arbitrariamente, ma da sinistra nel grafico otteniamo il limite sinistro della funzione in quel punto, similmente otteniamo il limite destro, se essi coincidono allora quello è il limite della funzione in quel punto, se invece non coincidono allora non vi è limite in quel punto, ma solo limite destro e sinistro. Le funzioni continue hanno molta importanza nella matematica perché dotate di numerose proprietà, per esempio una funzione continua considerata in un intervallo assume tutti i valori compresi tra i valori assunti negli estremi dell’intervallo. Oppure si può sempre calcolare l’area sottesa dal grafico di una funzione continua. Queste ed altre proprietà rendono le funzioni continue le più semplici che si studiano in analisi, ma danno loro anche grande importanza. ()
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Materia: Filosofia
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Critica alle idee astratte Secondo Berkley , come anche secondo Locke l’ oggetto della conoscenza é costituito dalle idee , ossia le nostre rappresentazioni mentali . Sempre sulla scia di Locke Berkley non é innatista , bensì ritiene che l’ unica fonte delle idee sia l’ esperienza . Quella che generalmente chiamiamo una ” mela ” non é che una collezione di idee di sensazione ( di un certo sapore , di un certo odore , consistenza , forma , ecc. ) che l’ esperienza ci presenta solitamente congiunte . Ma Berkeley é del parere che il suo maestro ideale ( Locke ) non sia stato abbastanza fedele ai suoi presupposti almeno su un punto . Per Locke , infatti , ciò che distingue il pensiero umano dall’ attività psichica dei bruti é la facoltà dell’ astrazione . Per quanto i sensi offrano sempre idee particolari , l’ uomo ha la capacità di formulare idee astratte , separandole dalle altre qualità dell’ oggetto percepito : vediamo un libro giallo e sappiamo astrarre , tirar via mentalmente il giallo , la forma parallelepipedo , etc. Secondo Berkeley , al contrario , questo processo non é possibile e le rappresentazioni mentali degli uomini sono sempre idee particolari : l’ idea di giallo é data soltanto in quanto é riferita a un determinato oggetto ( un libro , una casa , una mela , etc. ) ed é inseparabilmente congiunta con tutte le altre qualità di esso . Quando pensiamo ad un uomo , non formuliamo mai l’ idea astratta ” uomo ” , ma immaginiamo sempre un uomo alto o basso , biondo o bruno , grasso o magro . Berkeley , dunque , risulta ancora più saldamente ancorato rispetto a Locke alla tradizione occasionista seicentesca e perviene ad un più rigoroso nominalismo : gli universali sono esclusivamente flatus voci , dicevano i nominalisti medioevali . La negazione delle idee astratte , comunque , non esclude la possibilità di un uso generale delle idee particolari , uso che Locke avrebbe senz’ altro confuso con l’ esistenza di idee astratte . Risulta infatti possibile servirsi di idee particolari per rappresentare tutte le idee che appartengono ad una stessa specie . Il triangolo che il geometra ha in mente per dimostrare un dato teorema é sempre particolare ( per esempio un triangolo rettangolo ) ma nella dimostrazione questa particolarità viene fatta cadere in modo che essa possa rappresentare tutti i triangoli , pure quelli isosceli , scaleni ed equilateri , che sono sempre triangoli . Quando penso all’ uomo in generale , in realtà ho sempre in mente un uomo particolare , magro o grasso , bianco o nero , alto o basso , ma non tengo conto di queste qualità in modo da poter riferire la mia rappresentazione di uomo , e il corrispondente termine generale ” uomo ” con cui la indico , a tutti gli uomini . Berkeley sostiene che l’ infondato riconoscimento di idee astratte porti seco altri due errori grossolani . In primis , esso conduce all’ erronea distinzione tra qualità primarie e qualità secondarie , la quale si basa sulla pretesa di astrarre dal complesso delle qualità percepite soggettivamente alcune qualità che , inerendo oggettivamente alle cose , siano suscettibili di misurazione matematica . Il secondo errore consiste nella falsa supposizione di una sostanza materiale da cui derivino le idee percepite dal soggetto conoscente : il dire che é il libro che é giallo ; per Berkeley le cose non stanno così . Anche in questo caso si applica in modo sbagliato il procedimento astrattivo , pretendendo di separare l’ esistenza degli oggetti dalle sensazioni attraverso cui essi vengono percepiti . Esamineremo ora questi due aspetti , uno alla volta . ()
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Materia: Matematica
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I Bernoulli (1623-1863) Quella dei Bernoulli, una famiglia di origine svizzera, fu una vera e propria dinastia di scienziati. Ben tredici esponenti della famiglia si affermarono, nell’arco di pochi anni, in campo scientifico. I più noti furono i due fratelli Jacques (o Jakob) (1654-1705) e Jean (o Johann) (1667-1748) che diedero importanti contributi nello sviluppo del calcolo differenziale, nella forma data ad esso da G.W.Leibniz. Jacques pubblicò inoltre molti articoli sulle serie e sulla teoria della probabilità e un testo, che ebbe molto successo, dal titolo ‘Ars conjectandi’ [§]. Uno dei figli di Jean, Daniel (1700-1782) si distinse nel campo dell’idrodinamica e della teoria cinetica dei gas. ()
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Materia: Matematica
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Evangelista Torricelli (1608-1647) Scienziato italiano, fu allievo di Galileo e gli succedette come matematico e filosofo alla corte del Gran Duca Ferdinando II di Toscana. E’ noto soprattutto per l’invenzione del barometro e per i suoi studi di dinamica dei fluidi, in particolare per un teorema di idrodinamica, da lui dimostrato, che porta il suo nome. Si occupò inoltre di meccanica e di molte questioni di carattere matematico. Scrisse diversi lavori su argomenti di geometria in cui utilizzava alternativamente il metodo degli indivisibili di Bonaventura Cavalieri o il classico metodo di esaustione di Archimede, tecniche che anticipavano quelle del calcolo infinitesimale. Il suo nome è talvolta ricordato a proposito di un fondamentale teorema dell’analisi. ()
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Materia: Matematica
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Scale di rappresentazione Il disegno tecnico serve come s’é visto per rappresentare forma e dimensioni di pezzi da costruire con l’aiuto di strumenti e macchine, anzi si potrebbe dire in ultima analisi che serve proprio per fornire l’indicazione degli spostamenti da far eseguire agli utensili per giungere alla forma voluta. E’ chiaro perciò che l’importanza delle indicazioni di dimensioni, le cosiddette quote, é fondamentale in un disegno. Sarebbe conveniente potere rappresentare nelle dimensioni vere sia i particolari che i complessivo per poterli raffigurare nelle loro reali forme e dimensioni. In realtà pezzi di grandi dimensioni e di forme relativamente semplici vengono rappresentati con dimensioni inferiori a quella reale, mentre oggetto piccoli sono disegnati molto più grandi di quanto siano in realtà. La scala é il rapporto tra le dimensioni del disegno e le dimensioni reali dell’oggetto e deve essere scelta fra quelle consigliate dalla UNI per i disegni tecnici, che sono le seguenti: scale di riduzione: 1:2 - 1:1,25 - 1:5 - 1:10 - 1:20 - 1:25 - 1:50 - 1:100 scale di ingrandimento: 2:1 - 5:1 - 10:1 - 20:1 - 50:1. Si consiglia di evitare la scala di riduzione 1:2 poiché può portare a falsare l’interpretazione delle dimensioni (un pezzo in scala 1:2 ha una superficie che é un quarto di quella reale, non la metà). Su ogni disegno deve essere indicata la scala con la quale é stato rappresentato il pezzo: le quote devono sempre riportare la dimensione vera dell’oggetto. Qualora, in casi eccezionali e quando non ne derivi scarsa chiarezza di disegno, si abbiano elementi non disegnati in scala, la quota corrispondente dovrà esser sottolineata con tratto pesante (fig.27). fig.27 ()
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Materia: Matematica
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Michel Rolle (1652-1719) Matematico francese, membro dell’Academie des Sciences, è noto soprattutto in relazione ad un teorema di analisi che porta il suo nome, da lui dimostrato nel 1691. Fu uno dei più abili matematici del suo tempo, tuttavia si distinse soprattutto per un atteggiamento critico verso i nuovi metodi del calcolo differenziale che si andavano allora affermando, dando luogo a vivaci polemiche con P.Varignon e Jean Bernoulli. Alla fine della disputa comunque egli si convinse della bontà delle nuove idee e finì per accettarle. La sua opera più famosa si intitola ‘Traité d’algèbre’ e fu stampato nel 1690. ()
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Materia: Matematica
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DERIVATE Concetto di rapporto incrementale Consideriamo una funzione y=f(x) definita in un intervallo di estemi a e b. Sia un punto del suo dominio. Diamo a un incremento h positivo, otteniamo così il punto . La funzione, mentre la variabile indipendente passa da a , varia da a , cioè subisce l’incremento - . Al rapporto fra l’incremento della y e quello della x, cioè a: si dà il nome di rapporto incrementale della funzione f(x) nel punto . La definizione è valida anche considerando un incremento negativo. Dal punto di vista geometrico, (vedi figura), il rapporto incrementale rappresenta il coefficiente angolare della retta secante passante per i punti P e Q. Ciò è facilmente comprensibile se si tiene conto che il coefficiente angolare della retta passante per P e Q è uguale a ( rappresenta l’angolo che la retta forma col semiasse positivo delle x e anche l’angolo in P ) e che: = . (In ogni triangolo rettangolo, la tangente di un angolo è uguale al rapporto fra la misura del cateto opposto e quella del cateto adiacente all’angolo.) Derivata di una funzione Si definisce derivata prima o semplicemente derivata della funzione f(x) nel punto del suo dominio il limite se esiste ed è finito del rapporto incrementale, cioè: e si indica con i simboli , , . La derivata, dal punto di vista geometrico, rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto P. Infatti , tenuto conto che il rapporto incrementale è uguale al coefficiente angolare della secante e considerato che al tendere di h a 0 la secante tende a diventare la tangente, l’affermazione è senz’altro vera. Calcolo di derivate di funzioni elementari Vogliamo ora determinare le derivate di alcune funzioni elementari. Iniziamo con f(x)=k (costante) nel punto =1. A tal fine dobbiamo calcolare il limite La derivata di una costante, indipendentemente dal punto in cui si calcola, è uguale a 0. Se consideriamo nel punto =1, avremo: La derivata di una funzione in un punto è quindi un numero reale. Se la derivata invece viene calcolata nel punto generico x, è a sua volta una funzione della stessa variabile. Determiniamo adesso la derivata della funzione f(x)=x, nel punto x. Se , = . A questo punto possiamo costruire una tabella con alcune funzioni elementari e a fianco le corrispondenti derivate generiche. La derivata è stata indicata con il simbolo . La tabella non è completa ma include le derivate prime delle principali funzioni elementari. ()
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Materia: Matematica
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Janos Bolyai (1802-1860) Matematico di origine ungherese, figlio di un matematico di talento di nome Farkas, imparò la matematica assai precocemente e all’età di tredici anni già padroneggiava le tecniche dell’analisi. All’età di trenta scrisse un importante lavoro sulla geometria non-euclidea, in appendice ad un trattato del padre. In questo lavoro egli espose un nuovo tipo di geometria, in seguito detta iperbolica, che rinunciava al postulato di Euclide sulle parallele; nella nuova geometria data una retta ed un punto esterno ad essa esistono infinite rette parallele alla retta data. La scoperta delle geometrie non-euclidee, fatta nello stesso periodo anche da C.F.Gauss e N.I.Lobacevskij, rappresentò uno dei momenti di maggior progresso in questo settore, poi culminato nella concezione più generale dovuta a G.F.B.Riemann. ()
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Materia: Matematica
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Richard Dedekind (1831-1916) Matematico tedesco, dopo un breve periodo all’università di Gottingen, dedicò gran parte della sua vita all’insegnamento. E’ noto soprattutto per i suoi studi sulle proprietà dei numeri, in particolare egli definì i numeri reali come particolari ’sezioni’ nell’insieme dei numeri razionali. La sua principale opera matematica ‘Stetigkeit und die Irrationalzahlen’ [§] ottenne un grande successo ed ebbe una meritata fama. Tra i suoi contributi ci furono studi sull’induzione matematica, gli insiemi infiniti, la teoria dei numeri e la continuità. A lui si devono alcuni concetti fondamentali per l’algebra moderna come quello di ‘anello’ e di ‘ideale’. Si occupò inoltre con successo della divulgazione di opere a carattere matematico. ()
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Materia: Matematica
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Continuità di una funzione Una funzione f(x) si dice continua in un punto x=c se esistono i due limiti, destro e sinistro, in tale punto, se essi sono uguali tra loro e uguali al valore della funzione in quel punto. In formule si scrive: Una funzione continua ha una proprietà intuitiva dal punto di vista grafico: può essere tracciata senza staccare la penna dal foglio. Se la funzione è continua in tutti i punti di un intervallo [a,b] essa si dice continua in [a,b]. Le funzioni continue ci saranno particolarmente utili nel seguito. Notiamo che le funzioni elementari (potenza, esponenziale, logaritmo, funzioni trigonometriche dirette e inverse) sono continue dove definite. ()
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Materia: Matematica
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PROGRESSIONI ARITMETICHE: an=a1+(n-1)d Sn=((a1+an)/2)n PROGRESSIONI GEOMETRICHE: an=a1q^(n-1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) [N.B. se abs(q)

Materia: Matematica
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Tipi di limiti Quello che abbiamo considerato nella pagina precedente è il limite finito per la variabile indipendente tendente ad un numero finito. Esistono altri casi di limiti: · limite finito per x che tende all’infinito; · limite infinito per x che tende ad un numero finito; · limite infinito per x che tende all’infinito Nel primo tipo il valore della funzione “si avvicina” ad un numero finito quando la variabile x tende all’infinito. Il limite si scrive: Nel secondo si ha la scrittura: Nel terzo infine: L’infinito può essere sia positivo, sia negativo. Graficamente, di seguito, sono rappresentati il 1° e il 2° dei tre casi: fig.1 fig. 2 La definizione del secondo tipo di limite è la seguente: Una funzione f(x) ha limite + infinito per x che tende a se, comunque si considera un numero positivo M , grande a piacere, è possibile determinare in corrispondenza un intorno ]a,b[ di in modo che per ogni x appartenente ad ]a,b[, escluso , risulti: f(x)> (more…)

Materia: Filosofia
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Qualche giudizio Lucrezio , il famoso poeta latino contemporaneo di Catullo e Cicerone , scrisse un intero poema ( De rerum natura ) dedicato alla filosofia epicurea , colmo di elogi volti al maestro Epicuro : grazie al suo ingegno superò il genere umano e tutti privò di luce , come al suo sorgere il sole nell’ etere spegne le stelle Nel Rinascimento l’ italiano Lorenzo Valla si avvicinò alle tesi epicuree , condannate per tutto il medioevo dalla Chiesa : perchè mai perseguire il piacere dovrebbe essere peccaminoso , egli si chiede nel De voluptate , quando la Chiesa stessa , predicando la resurrezione dei corpi , sostiene che i giusti , come premio finale , godranno ? Nel 1600 , il secolo della ragione e della matematica , aderì all’ epicureismo perfino un sacerdote , il francese Pierre Gassend , che nel Syntagma philosophicum riprende la teoria atomica epicurea , sostenendo , da buon religioso , che gli atomi non sono eterni , bensì vengono creati da Dio , il quale può anche disfarli , e propugnando l’ immortalità dell’ anima . Giacomo Leopardi , esempio di radicale ateismo , riprendendo i versi di Lucrezio , scrisse a riguardo di Epicuro : Nobil natura é quella / che a sollevar s’ ardisce / gli occhi mortali incontra / al comun fato , e che con franca lingua / nulla al ver detraendo , / confessa il mal che ci fu dato in sorte , / e il basso stato e frale Federico Nietzsche , il folgorante profeta del superuomo , scrisse in uno dei suoi capolavori filosofici ( Umano , troppo umano ) : Un giardino , fichi , piccoli formaggi e insieme tre o quattro buoni amici : fu questa la sontuosità di Epicuro ; Epicuro ha vissuto in tutti i tempi , e vive ancora , sconosciuto a quelli che si dissero e si dicono epicurei , e senza fama presso i filosofi . Del resto egli stesso dimenticò il suo nome : fu il bagaglio più pesante che avesse mai gettato via . ()
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Materia: Matematica
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Materia: Matematica
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Materia: Matematica
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Procedimento nello studio di funzione: Premessa: regole generali per lo studio di una funzione: 1)studio il c.d.e.: ovvero applico le regole per le varie tipologie di funzioni(ovvero : 1)f(x)=log x: allora x>0; 2)f(x)=srqx: allora x>=0; 3)f(x)=x: allora tutto R; 4) f(x)=(x+2)^un numero irrazionale: allora (x+2)> (more…)

Materia: Matematica
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Materia: Matematica
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Ombre Si potrebbe parlare a questo proposito di una semplice applicazione della teoria delle intersezioni: infatti si ha intersezione fra un solido reale, quello di cui vogliamo studiare l’ombra, con un solido ideale costituito da un fascio di raggi di luce, supposti paralleli ed inclinati di 45° rispetto ai tre piani di proiezione ortogonali, con provenienza dalla sinistra del oggetto. Il contorno definito da questa intersezione delimitata la zona illuminata da quella in ombra. Si potranno distinguere un’ombra propria dell’oggetto cioè le zone in ombra dell’oggetto stesso, ed un’ombra portata, causata dall’oggetto su piani ad esso vicini. In proiezione ortogonale la determinazione esatta non presenta difficoltà fig. 19a e fig. 19b fig.19 b fig.19 a Analogamente è possibile giungere a rappresentazione precise in assonometria e prospettiva, ma poiché lo scopo principale del disegno dell’ombra è l’esaltazione dell’oggetto raffigurato, ci si limita ad un ombreggiatura ad intuito. Ritenendo cioè di avere una sorgente luminosa posta in alto a sinistra dell’oggetto si scuriscono le parti in ombra fig. 19c, senza curarsi eccessivamente dell’esattezza fig. 20a e fig. 20b fig.19 c fig.20a fig.20b RAPPRESENTAZIONE DI OGGETTI SECONDO LE NORME DEL DISEGNO TECNICO Convenzioni e regole generali Le varie regole di rappresentazione viste nei capitoli dedicati al disegno geometrico subiscono adattamenti ed applicazioni particolari nel caso del, disegno tecnico, sempre allo scopo di renderlo più semplice e chiaro nell’esecuzione e nell’interpretazione. Rappresentazione di organi meccanici Gli organi meccanici vengono rappresentati per l’esecuzione quasi sempre secondo le proiezioni ortogonali, secondo le convenzioni seguenti. fig.1afig.1b Si pensi di collocare nello spazio l’oggetto da rappresentare entro un cubo fig.1a: proiettando l’oggetto stesso sulle sei facce interne del cubo e aprendo quest’ultimo, sviluppando su un unico piano, ottenendo l’insieme di sei viste fig.1b: 1) vista anteriore o principale (proiezione verticale) 2) vista da destra (proiezione laterale sinistra) 3) vista dall’alto o pianta (proiezione orizzontale inferiore) 4) vista da sinistra (proiezione laterale destra) 5) vista dal basso (proiezione orizzontale superiore) 6) vista posteriore (proiezione anteriore) La fig.2 rappresenta una piastra nervata nelle tre viste principali. Come si può notare non sono state tracciate le linee di costruzione né le linee delimitanti i piani di proiezione. Le tre viste però possono essere collegate fra loro mediante degli assi di simmetria. Fra le viste però dovrà esserci corrispondenza, e dovranno sempre essere nelle posizioni reciproche di fig.1b. fig. 2 Se l’oggetto è di forma semplice si possono eseguire solamente solo due viste, quelle di fronte e quelle di fianco, oppure quella in pianta (fig.3 e 4). La rappresentazione si può limitare ad una sola vista, nei corpi di sezione prismatica, incorporando la sezione nel disegno del pezzo (fig. 5). Prima di rappresentare un pezzo lo si deve osservare attentamente al fine di poterlo rappresentare con il minimo numero di proiezioni, per scegliere come vista principale quella che dia in modo più chiaro e completo l’idea generale del pezzo e per disporre convenientemente le viste necessarie. fig.3fig. 4fig.5 Particolari accorgimenti permettono di evitare la rappresentazione di talune viste; ad esempio la fig.6 indica un particolare di tubazione nel quale il ribaltamento di una vista semplificata notevolmente il disegno. Altrettanto si può dire riguardo all ()
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Materia: Matematica
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Materia: Filosofia
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La matematica La fama di Leibniz come matematico è legata soprattutto alla prima sistemazione organica del «calcolo infinitesimale». Di essa egli diede notizia in due articoli pubblicati negli Acta Eruditorum («Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas, nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus», 1684 e «De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum», 1686). Tale pubblicazione diede origine ad una violenta polemica a distanza con Isaac Newton, il quale rivendicò la priorità della scoperta e giunse praticamente ad accusare Leibniz di plagio. I documenti che possediamo sembrano far capire che entrambi giunsero indipendentemente alla stessa scoperta (formulata solo in termini differenti), che del resto era all’epoca preparata dalla soluzione già nota di diversi casi particolari. Diamo qui, in una forma molto semplificata, un’idea dei problemi che il calcolo infinitesimale affronta e degli strumenti coi quali li risolve.Il presupposto del calcolo infinitesimale è l’elaborazione della geometria analitica da parte di Cartesio, vale a dire della possibilità di tradurre problemi geometrici in problemi algebrici e viceversa. Sul piano cartesiano, infatti, ogni funzione f(x) = y è rappresentata da una linea. Come è noto, i polinomi di primo grado sono rappresentati da linee rette, quelli di grado superiore e le funzioni di altro tipo da linee curve. Proprio in relazione a questo secondo caso sorgono due interessanti problemi. In primo luogo: come calcolare l’area di una figura delimitata da linee curve? Esaminiamo il caso più semplice: quello del trapezoide delimitato dai due assi, da una retta parallela all’asse delle ordinate e da una linea curva di funzione f(x) = y. Ã? facile immaginare un metodo approssimato per calcolare quest’area: basta dividere il trapezoide in sottili rettangoli verticali e sommarne l’area. La base di ognuno di essi sarà parte dell’asse delle ascisse, l’altezza sarà calcolata usando la funzione f(x). Ora, è evidente che quanto maggiore sarà il numero dei rettangoli, tanto più preciso sarà il calcolo dell’area. Ma come calcolare l’area esatta? Bisognerebbe dividere la figura in infiniti rettangoli e sommarne le infinitesime aree. Ã? possibile ciò? In secondo luogo: come calcolare il coefficiente angolare della retta tangente ad un dato punto di una linea curva? Anche qui si può pensare ad un sistema approssimato. Si può scegliere nelle vicinanze dell’ascissa data un’altra ascissa, e calcolare le ordinate corrispondenti. Dividendo la differenza delle due ordinate per la differenza delle due ascisse si avrà — come è noto — il coefficiente angolare della retta passante per i due punti così individuati. Non si tratta però di una tangente, perché essa attraversa la linea curva in due punti. Per ottenere il coefficiente della tangente bisognerebbe rendere infinitamente piccola la distanza tra le due ascisse (e di conseguenza tra le due ordinate), e calcolare il quoziente tra due infinitesimi. Ã? possibile? I due problemi fondamentali del calcolo infinitesimale. Qual è il coefficiente angolare della retta tangente in un punto di ascissa x’ ad una curva f(x) = y? Qual è l’area del trapezoide delimitato dai due assi, dalla retta x = x’ e dalla curva f(x) = y? 2.2. Il calcolo differenziale e integrale Il problema della tangente venne risolto con quello che Leibniz chiamò «calcolo differenziale». Con esso viene ricavata dalla funzione data y una funzione dy/dx (detta «rapporto differenziale», da leggere «de ipsilon su de ics»), dove la d è un operatore che indica il «differenziale» ovvero l’«incremento infinitesimo» delle variabili. Tale funzione esprime dunque il coefficiente angolare della retta tangente al punto di ascissa x della funzione originaria. Nel caso dei polinomi sono sufficienti due semplici regole: d(y + z) / dx = dy / dx + dz / dx d(axn) / dx = anxn-1 La prima regola stabilisce che il dif ()
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