Materia: Matematica
Dimensione: 5.75 Kb

Funzione inversa Una funzione di due variabili espressa in forma implicita può essere risolta rispetto all’una o all’altra delle variabili. Se in una delle due si scambia il ruolo delle variabili, le due funzioni che si ottengono si dicono una l’inversa dell’altra. Così se si ha la funzione y=2x-1 la sua inversa e’ la funzione y=(x+1)/2 ottenuta risolvendo la x e poi scambiando x con y. I grafici delle due funzioni così ottenute risultano correlati da una relazione di simmetria, per riflessione intorno alla bisettrice del I/III quadrante. ()
(more…)

Materia: Matematica
Dimensione: 24.32 Kb

Regole di derivazione Le principali regole di derivazione sono: · la derivata del prodotto di una costante per una funzione; · la derivata della somma di due o pi? funzioni; · la derivata del prodotto; · la derivata del quoziente; · la derivata dell’inversa di una funzione. Nel primo caso, data la funzione F(x)=kf(x), Infatti. Si pu? quindi dire che la derivata del prodotto di una costante per una funzione ? uguale al prodotto della costante per la derivata della funzione. Se consideriamo ad esempio , dunque . La derivata della somma di due funzioni ? uguale alla somma delle derivate delle due funzioni, cio?: La regola ovviamente ? valida anche nell’eventualita di pi? di due funzioni. La dimostrazione di quanto affermato ? la seguente: Data la funzione F(x)=f(x)+g(x) Cosi’ se y=3x+cosx+5, y’=3-senx. Nel caso del prodotto F(x)=f(x)g(x) si ha: La derivata di un prodotto di due funzioni ? uguale alla somma del prodotto della derivata della prima per la seconda non derivata con la prima non derivata per la derivata della seconda. Data ad esempio la funzione y=3xsenx , y’=3senx+3xcosx Nel quoziente La derivata del quoziente di due funzioni ? uguale ad un rapporto che ha al numeratore la differenza fra il prodotto della prima derivata per la seconda non derivata e il prodotto della prima non derivata per la seconda derivata e al denominatore, la seconda funzione al quadrato. Esempio: data . Nel caso dell’inversa di una funzione La derivata dell’inversa di una funzione ? uguale all’opposto del rapporto fra la derivata della funzione e la funzione al quadrato. Cosi’ ha come derivata In queste righe le funzioni sono state indicate a volte con la lettera F, a volte con la y, ci? non deve destare dubbi in quanto tutte e due le lettere si possono utilizzare per indicarle ()
(more…)

Materia: Matematica
Dimensione: 2.56 Kb

La serie armonica La serie armonica è una serie divergente e può essere usata come termine di confronto per determinare se una serie diverge. Se la serie in esame è, da un certo indice in poi, maggiore, termine a termine, della serie armonica, allora essa è certamente divergente. Dimostriamo la divergenza della serie armonica. La serie è data da Uk=1/k; S=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+… raggruppiamo i termini a partire dal secondo a gruppi di 1, 2, 4, 8, 16, … S=1+(1/2)+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+(1/9+1/10+… in ogni parentesi sosituiamo i termini presenti con il più piccolo di essi; così facendo si ottiene una nuova serie, certamente minore di quella data S=1+(1/2)+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+(1/16+1/16+… svolgiamo i calcoli nelle parentesi e otteniamo una nuova serie, anch’essa infinita S=1+(1/2)+2(1/4)+4(1/8)+8(1/16)+… S=1+1/2+1/2+1/2+1/2+… potrebbe sembrare che la nuova serie contenga meno termini della precedente; si ragioni attentamente sulla definizione di infinito data da G.Cantor e si capirà che il numero di termini è invece lo stesso e ugualmente infinito. La serie ottenuta è una serie a termini costanti e pertanto certamente divergente. Poichè essa è senz’altro minore della serie armonica se ne deduce che anche la serie armonica è divergente. ()
(more…)

Materia: Matematica
Dimensione: 7.94 Kb

()

Materia: Matematica
Dimensione: 3.5 Kb

I numeri primi I numeri primi sono quei particolari numeri che sono divisibili solo per 1 e per sé stessi, come per esempio 5 o 7. All’apparenza sono solo un insignificante sottoinsieme dei numeri naturali, in realtà questo tipo di numeri assume un’incredibile importanza nella matematica. Il motivo principale di questa importanza è il fatto che ogni numero è scomponibile in un unico modo come prodotto di numeri primi, questo teorema prende il nome di teorema fondamentale dell’aritmetica, la dimostrazione è talmente semplice che la lascio come divertimento a chi sia interessato. Attualmente la matematica studia moltissimi i numeri primi, infatti molti teoremi basta dimostrarli solo per i numeri primi per dimostrarli per tutti i naturali (come il teorema di Fermat). Fin dagli antichi greci si è cercato un procedimento per ricavare numeri primi, evitando di cercare i divisori di ogni numero naturale, ma Gauss dimostrò che tale procedimento non esiste. Una cosa interessante dell’insieme dei numeri primi è il fatto che possiede la cardinalità del numerabile (vedi infinito). Prima di vedere qualche teorema su questi numeri vediamo alcune curiosità. Per lungo tempo si è creduto che i numeri nella forma 2^(2^n)+1 fossero sempre primi, ma si è scoperto che questo è vero fino a n=5, tra gli altri valori di n non è ancora stato trovato un valore che renda l’espressione un numero primi, si sospetta che non esista, ma non si ha ancora nessuna dimostrazione; questi particolari numeri primi prendono il nome di numeri primi di Fermat,e hanno una particolare importanza per determinare se un poligono regolare di n lati, con n che è un numero primi, sia o meno costruibile con riga e compasso. Considerate questi numeri 31, 331, 3331, 33331, 333331… sembrano essere tutti numeri primi, trovate fino a quando essi sono veramente primi! Enuncio ora, senza dimostrazione dimostrazione qualche teorema sui numeri primi. Ogni numero primi si può scrivere nella forma 4*n + 1 o 4*n -1, dove n può essere un intero qualsiasi. I numeri primi della prima categoria sono sempre scrivibili come somma di due quadrati perfetti, i secondi come differenza di due quadrati (la differenza dei quadrati di due numeri consecutivi è sempre un numero dispari, provate a scoprire di quale numero si tratta e trovate un teorema simile per i cubi). Tra n e due 2*n c’è sempre almeno un numero primo, la dimostrazione di questo teorema è abbastanza difficile, ma molto bella, in quanto utilizza una funzione matematica, il logaritmo, che apparentemente non ha nulla a che fare con i numeri primi. La frequenza con cui i numeri primi si trovano prima di un numero n è data circa dalla formula n/ln(n), in realtà se si prova a fare i calcoli si trova che questa formula sovrastima il numero vero di numeri primi, tuttavia è possibili dimostrare che prima del numero 10^(10^(10^34)) il numero di numeri primi è sottostimato. ()
(more…)

Materia: Matematica
Dimensione: 2.32 Kb

Grandezze infinite Non tutte le successioni tendono ad un limite finito; alcune, dette divergenti, tendono a crescere sempre, non restando mai limitate. Analogamente una variabile continua può assumere valori infinitamente grandi in un certo intorno. Una successione Yn si dice divergente o infinita se è possibile determinare un valore N dell’indice tale che per tutti i valori n> (more…)

Materia: Matematica
Dimensione: 2.26 Kb

Teoremi sulle funzioni continue Teorema: se le funzioni f(x) e g(x) sono continue nel punto Xo, anche la funzione f(x)+g(x) è continua nel punto Xo. Teorema: se le funzioni f(x) e g(x) sono continue nel punto Xo, anche la funzione f(x)g(x) è continua nel punto Xo. Teorema: se le funzioni f(x) e g(x) sono continue nel punto Xo e g(Xo) e’ diversa da 0, anche la funzione f(x)/g(x) è continua nel punto Xo. Ricordiamo infine che dati due numeri a e b entrambi finiti, se una funzione è continua in ogni punto di un certo intervallo aperto (cioe’ non comprendente gli estremi) (a,b), si dice che è continua nell’intervallo aperto (a,b). Se una funzione è continua in ogni punto di un certo intervallo chiuso (cioe’ comprendente gli estremi) [a,b], si dice che è continua nell’intervallo chiuso [a,b]. ()
(more…)

Materia: Filosofia
Dimensione: 12.2 Kb

Il superamento dei dualismi Stabilito che Bruno é più panteista di tutti gli altri filosofi esaminati e che di Plotino accentua soprattutto l’ immanenza della realtà , dobbiamo ora vedere il rapporto tra Dio e cose , tra l’ infinito e il finito : é il classico problema presente fin dalle origini della filosofia (more…)

Materia: Matematica
Dimensione: 5.19 Kb

Forme indeterminate Nel calcolo dei limiti, possono verificarsi delle situazioni in cui non ? possibile effettuare le comuni operazioni algebriche. Si parla allora di forme indeterminate. In figura sono riportate le forme indeterminate pi? comuni che ? possibile incontrare. La risoluzione delle forme indeterminate richiede tecniche di calcolo opportune. Vedete alcuni esempi (usate il motore di cercarli, abbiamo inserito alcuni esempi). ()
(more…)

Materia: Matematica
Dimensione: 12.47 Kb

Risoluzione di un sistema di equazioni In algebra capita spesso di dover risolvere un gruppo di equazioni che debbono essere verificate contemporaneamente; in questo caso si dice che le equazioni da risolvere costituiscono un sistema di equazioni. La risoluzione di un sistema di equazioni, ottenibile mediante tecniche algebriche diverse, consiste perciò nella ricerca di un insieme di valori che soddisfino tutte le equazioni assegnate. Ad esempio, dato il sistema lineare composto dalle due equazioni lineari in due incognite si isola l’incognita y nell’equazione (2) (y = 5 - 2*x), per poi sostituire l’espressione trovata nell’equazione (1) Questo passaggio (metodo della sostituzione) riduce il problema alla soluzione di un’equazione lineare in una sola incognita: o cosicché Sostituendo la soluzione trovata nell’equazione (1) o, equivalentemente, nella (2), si ottiene Si può adottare un metodo più rapido, osservando che, se si moltiplicano entrambi i membri dell’equazione (2) per 4, si ricava Sottraendo l’equazione (1) dalla (2), si ha 5*x = 10, e quindi x = 2. La risoluzione dei sistemi di equazioni lineari a più incognite è una delle applicazioni principali dell’algebra lineare, una delle parti fondamentali dell’algebra moderna . ()
(more…)

Materia: Matematica
Dimensione: 3.03 Kb

()

Materia: Matematica
Dimensione: 9.63 Kb

()

Materia: Matematica
Dimensione: 44.15 Kb

Limite di una funzione Per introdurre il concetto di limite di una funzione in un punto, conviene partire da un esempio. Consideriamo la funzione Vogliamo vedere a quale valore si avvicina la funzione ( la variabile y) se alla x attribuiamo valori sempre piu’ prossimi al numero 1. A tal fine costruiamo una tabella con i valori della x e a fianco i corrispondenti valori della y. Nella parte di sinistra ci “avviciniamo” a 1 per valori minori del numero, in quella di destra per valori maggiori. x y x y 0,6 1,6 1,4 2,4 0,8 1,8 1,3 2,3 0,9 1,9 1,2 2,2 0,95 1,95 1,1 2,1 0,98 1,98 1,02 2,02 Dall’esame dei risultati si può notare che i valori della y “si avvicinano” al numero 2, man mano che quelli della x “si approssimano” a 1. Cio’ accade sia per valori minori, sia per valori maggiori di 1. Si dice allora che la funzione ha limite 2 per x che tende a 1 e si scrive: In modo più rigoroso : Si dice che una funzione f(x) ha limite l per x che tende a e si srive se, comunqe si considera un numero piccolo a piacere, è possibile trovare in corrispondenza un intorno I del punto , in modo che per ogni x appartenente a I e diverso da risulti: o in alternativa La definizione è illustrata dalla seguente figura: ()
(more…)

Materia: Matematica
Dimensione: 3.25 Kb

Nikolai Ivanovic Lobacevskij (1792-1856) Figlio di un modesto funzionario governativo ed afflitto per tutta la vita da problemi economici, fu incoraggiato negli studi per le sue notevoli capacità, che seppe valorizzare dopo gli studi all’università di Kazan, dove poi intreprese la carriera accademica e fu nominato Rettore. Fu studioso soprattutto di geometria, in particolare sviluppò per primo quella che è oggi conosciuta come geometria non-euclidea di tipo iperbolico, a partire da un saggio dal titolo ‘O nacalach geometrii’ [§] e in seguito in altre pubblicazioni. Questi importanti risultati trovarono un pieno coronamento parecchi anni dopo nell’opera di G.F.B.Riemann ma furono inizialmente sottovalutati e Lobacevskij rimase sostanzialmente incompreso dai suoi contemporanei. ()
(more…)

Materia: Matematica
Dimensione: 3.01 Kb

Gottlob Frege (1848-1925) Matematico e filosofo tedesco, studiò a Gottingen e Jena, dove poi si inserì come insegnante. Fu uno dei fondatori della logica, in particolare il suo programma scientifico rientrava in quel filone, detto logicismo, che tendeva alla riduzione della matematica alla logica. Studiò inoltre gli aspetti della filosofia della matematica e della filosofia del linguaggio. Le sue opere principali sono intitolate ‘Die Grundlagen der Arithmetik’ [§] e ‘Grundgesetze der Arithmetik’ [§]. Il suo pensiero influenzò quello di autori successivi, come B.Russell. ()
(more…)

Materia: Matematica
Dimensione: 190.09 Kb

Proiezioni di un punto su due piani La fig.2a mostra un angolo diedro formato da due piani di proiezione ortogonali (piano verticale V e piano orizzontale H) con x-x asse di proiezione. Poniamo ora un punto A nella spazio definito dell’angolo diedro e costruiamo le sue proiezioni. A questo punto fine conduciamo dal punto A le perpendicolari ai piani H e V. I punti di intersezione A’ ed A” delle perpendicolari con questi piani sono dette proiezioni ortogonali del punto A. Ruotiamo ora il piano H attorno all’asse x sino a farlo divenire un’estensione del piano V. Così si ottiene la rappresentazione ortogonale del punto A, indicata in fig.2b. Le perpendicolari condotte dal punto A ai piani di proiezione sono dette rette di proiezione, il punto A’ è la proiezione orizzontale mentre il punto A” è la proiezione verticale fig.2a fig.2b fig.2c Proiezione di un punto su tre piani di proiezione Se due proiezioni non sono sufficienti, si proietta l’oggetto su tre piani aggiungendo un terzo piano N di proiezione, perpendicolare agli altri due, detto piano di proiezione laterale fig. 3 fig.3 La terza proiezione del punto A, detta naturalmente proiezione laterale, si ottiene in modo analogo alle due precedenti già determinate. Da A si traccia una perpendicolare al piano N sino al punto A”. Per ottenere la completa rappresentazione ortogonale del punto A si ruota il piano H attorno all’asse x ed il piano N attorno all’asse z finché non diventino complanari al piano V. Proiezioni di un segmento Le proiezioni si otterranno congiungendo nei tre piani di proiezione dei suoi punti d’estremità. Consideriamo lo spigolo AB di fig. 4a che rappresenta il tagliente di un utensile. fig.4a fig.4b fig.4c Esso è parallelo al piano orizzontale fig.4a la proiezione verticale A” B” e la proiezione laterale A”’ B”’ sono parallele agli assi x ed y, rispettivamente,mentre la proiezione orizzontale A’ B’ forma un certo angolo con l’asse x, e la sua lunghezza è quella reale dello spigolo AB. 5a 5b 5c Lo spigolo AB di fig.5c è parallelo al piano V. La sua proiezione orizzontale è parallela all’asse x, mentre la proiezione verticale è inclinata rispetto all’asse x, ed ha la vera lunghezza dello spigolo. La proiezione laterale è parallela all’asse z. fig.5d fig.5e fig.5f Lo spigolo AB di fig.5c è parallelo all’asse x. Sia la proiezione orizzontale che quella verticale sono parallele all’asse x ed hanno la lunghezza effettiva di AB, mentre la proiezione laterale è un punto. ()
(more…)

Materia: Matematica
Dimensione: 3.22 Kb

Pitagora di Samo (580-550 a.c. circa) Uno dei più famosi matematici di tutti i tempi Pitagora è in realtà una figura avvolta nel mistero, che interpretò di volta in volta i ruoli del filosofo, dell’astronomo, del matematico, del santo, del profeta, del mago. Di lui non si hanno notizie certe, nè alcuna delle sue opere è pervenuta a noi e pertanto certi risultati sono attribuiti a lui sulla base di testimonianze scritte da altri o addirittura di notizie tramandate oralmente. Pitagora fondò una setta religiosa che poneva al centro dei propri principi gli studi filosofici e matematici. A questa scuola si devono molti dei risultati dell’aritmetica di quei tempi. A lui è attribuita l’affermazione “Tutto è numero”, con riferimento specifico ai numeri naturali. La numerologia e la mistica dei numeri avevano grande importanza in quei tempi e spesso ai numeri venivano attribuite proprietà soprannaturali e oscuri significati metafisici. La scuola pitagorica diede fondamentali contributi anche nello sviluppo della geometria, tuttavia nemmeno il famosissimo ‘teorema di Pitagora’ è attribuibile con certezza ai loro sforzi e forse la sua dimostrazione risale ad epoche precedenti. ()
(more…)

Materia: Matematica
Dimensione: 3.39 Kb

Georg Cantor (1845-1918) Georg Cantor, nato il 3 marzo 1845 a Pietroburgo, in Russia visse gran parte della sua vita in Germania e dopo gli studi a Gottingen e a Berlino lavorò all’università di Halle. Diede contributi nello studio delle serie trigonometriche, sulla non-numerabilità dei numeri reali, sulla teoria delle dimensioni, ma è noto soprattutto per i suoi lavori sulla teoria degli insiemi. In particolare gli si deve la prima definizione rigorosa di insieme infinito, così come pure la costruzione della teoria dei numeri transfiniti, sia cardinali che ordinali. Cantor dimostrò che gli infiniti non sono tutti uguali ma, similmente ai numeri interi, essi possono essere ordinati, cioè ne esistono alcuni più ‘grandi’ di altri. Riuscì poi a costruire una completa teoria di questi che chiamò numeri transfiniti. L’idea di infinito è una delle più controverse della storia del pensiero. Basti pensare alla perplessità con cui i matematici accolsero il calcolo infinitesimale di Leibniz e Newton, che era interamente basato sul concetto di grandezze infinitesime (che essi chiamavano “evanescenti”). Anche se la teoria cantoriana degli insiemi fu in seguito modificata ed integrata, resta ancora oggi allo base dello studio delle proprietà degli insiemi infiniti. Le critiche e le accese discussioni sulla sua opera furono forse alla base degli stati di depressione che lo assalirono negli ultimi anni della sua vita, conclusasi tragicamente in manicomio. ()
(more…)

Materia: Matematica
Dimensione: 3.27 Kb

Cenni di geometria differenziale Parente stretta della geometria infinitesimale la geometria differenziale è davvero interessantissima, purtroppo anche tracciare a grandi linee i suoi concetti è molto difficile, perché risulta essere un tipo di geometria complessa e abbastanza lontana dall’intuizione, vedremo dunque solo di cosa si occupa questa geometria. Normalmente in geometria le figure vengono considerate nella loro struttura complessiva. La geometria differenziale rappresenta un metodo di ricerca fondamentalmente diverso. Per prima cosa essa si occupa delle curve e delle superfici solo nell’intorno, cioè nelle “immediate vicinanze” di un punto qualunque della curva, per fare ciò solitamente si confronta quest’intorno con un ente geometrico il più semplice possibile, una retta o una circonferenza o magari un piano o una sfera nelle tre dimensioni, in questo modo si ottiene, per esempio il noto concetto di tangente. Questa parte della geometria differenziale è chiamato geometria differenziale “in piccolo”, ed è completata da un principio a cui la geometria “in piccolo” si rifà, l’area della geometria differenziale che si occupa di questo principio è detta “geometria differenziale in grande”. Se sappiamo che una figura geometrica continua (il termine ha quasi lo stesso significato che ci indica l’intuizione, quindi non lo specifichiamo) ha una determinata proprietà geometrico - differenziale nell’intorno di ognuno dei suoi punti allora possiamo dedurre delle proprietà essenziali riguardanti la struttura complessiva della figura. Le geometria differenziale studia anche altri problemi, legati a enti molteplici, come schiere di rette. Finalmente la geometria differenziale ci conduce al seguente problema, che Gauss e Riemman studiarono per primi: la costruzione della geometria come un tutto, con l’aiuto di concetti e assiomi (vedi logica) che si riferiscono soltanto all’intorno immediato di ogni punto. Così ebbe origine un gran numero di possibili geometrie generali, non ancora del tutto esaminate, di cui le geometrie non euclidee non sono che un esempio, importante, ma molto particolare. Abbiamo visto che la geometria differenziale, come la geometria infinitesimale, fa uso di segmenti infinitamente piccoli, questo fatto di per sé la allontana dalla nostra intuizione, ma essa è ancora più astratta e complessa, per cui non andiamo oltre nello studio di questa particolare disciplina, basiti pensare che qui il numero delle dimensioni può essere tranquillamente infinito. ()
(more…)

Materia: Matematica
Dimensione: 19.02 Kb

I numeri ciclici I numeri ciclici, o circolari, sono particolari in quanto moltiplicandoli per qualsiasi numero, sommando o facendo altre curiose operazioni, danno come risultato sempre le stesse cifre del numero di partenza, che girano come se l’ultima fosse attaccata alla prima. Il più piccolo numero ciclico è il 142857, esaminiamo cosa succede moltiplicandolo per i primi 6 numeri naturali: 142857*1 = 142857 142857*2 = 285714 142857*3 = 428571 142857*4 = 571428 142857*5 = 714285 142857*6 = 857142. Si vede che questo è un numero incredibile, la prima volta che l’ho visto sono rimasto davvero a bocca aperta. Se invece lo moltiplichiamo per 7 abbiamo 142857*7 = 999999. Infatti in generale si può enunciare il seguente teorema, di cui, come dei seguenti, non do la dimostrazione: un numero ciclico di n cifre, moltiplicato per n + 1 da come risultato una sequenza di n 9. Ma non pensate che sia già finito tutto, infatti sarebbe deludente che si possa moltiplicare i numeri ciclici solo per numeri minori di loro, vediamo cosa succede se moltiplichiamo per 1452. 142857*1452 = 207428364, di questo numero consideriamo le prime 6 cifre da destra: 428364 e sommiamo il numero così ottenuto con il numero rimanente, 207, si ha 428364 + 207 = 428571, che ha ancora le stesse cifre!! Questo lo si può fare moltiplicando per qualunque numero, a patto che il numero non sia un multiplo di 7, in quel caso dopo la somma otteniamo ancora la sequenza di sei 9. In generale vale il seguente teorema: moltiplicando un numero ciclico di n cifre per un numero qualsiasi e sommando i gruppi di n cifre si ottiene la stessa sequenza di numeri. Se si moltiplica per un multiplo di n+1 allora il risultato della somma è una sequenza di n 9. Tuttavia le curiosità non si limitano alla moltiplicazione, ma ci sono molte belle proprietà che riguardano anche l’addizione. Dal numero 142857 otteniamo questa somme 142 + 857 = 999, ma anche 14 + 28 + 57 = 99 e infine 1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27, ma attenzione perché da 27 abbiamo 2 + 7 = 9! Dalla prima addizione troviamo un importante proprietà dei numeri ciclici, che permette di trovare tutto il numero quando se ne conosce solo la metà. In generale si può enunciare il seguente teorema: un numero ciclico di n cifre può essere scomposto in gruppi di d cifre [dove d è un fattore di p] che sommati danno una serie di 9. Esistono molti modi per ottenere numeri ciclici, uno di loro è questo: In questo metodo si parte scrivendo 14 in alto a sinistra e poi moltiplicando sempre per 2 e scrivendo il numero successivo spostato di due posti verso destra. La somma da una serie infinita di 142857… Ma non credete che sia finita qui, infatti la stessa serie si può ottenere anche in questo modo: In questo modo, al contrario di prima, si ottiene il numero partendo da 7 e poi scrivendo sotto a sinistra di una posizione il numero di sopra moltiplicato per 5. Esaminiamo ora l’ultima proprietà che vedremo dei numeri ciclici. Essi sono strettamente legati ai reciproci dei numeri primi. Se consideriamo un numero primi n e ne calcoliamo il reciproco otteniamo sempre (tranne nel caso che n valga 2 o 5) un numero periodico, come è facile capire, ora il bello è che se il periodo è lungo n - 1 cifre allora è un numero ciclico. Vediamo qualche esempio. Reciproco del numero primo. Risultato approssimato. Periodo, che è uguale al numero ciclico. 1/7 0,14285714285714285714285714285 142857 1/17 0,05882352941176470588235294117 0588235294117647 1/23 0,04347826086956521391304347826 043478260869565213913 Si noti che negli ultimi due numeri ciclici si deve considerare anche lo 0 più a sinistra come cifra del numero, altrimenti quando si moltiplica il numero compare questa cifra senza che essa appaia nel numero iniziale. Quando il periodo è di lunghezza pari alla metà, ad un terzo, ecc… del numero primo per cui è stata fatta la divisione, si otterrà un numero ciclico di secondo, di terzo, ecc… ordine. I n ()
(more…)