Materia: Filosofia
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La matematica La fama di Leibniz come matematico è legata soprattutto alla prima sistemazione organica del «calcolo infinitesimale». Di essa egli diede notizia in due articoli pubblicati negli Acta Eruditorum («Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas, nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus», 1684 e «De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum», 1686). Tale pubblicazione diede origine ad una violenta polemica a distanza con Isaac Newton, il quale rivendicò la priorità della scoperta e giunse praticamente ad accusare Leibniz di plagio. I documenti che possediamo sembrano far capire che entrambi giunsero indipendentemente alla stessa scoperta (formulata solo in termini differenti), che del resto era all’epoca preparata dalla soluzione già nota di diversi casi particolari. Diamo qui, in una forma molto semplificata, un’idea dei problemi che il calcolo infinitesimale affronta e degli strumenti coi quali li risolve.Il presupposto del calcolo infinitesimale è l’elaborazione della geometria analitica da parte di Cartesio, vale a dire della possibilità di tradurre problemi geometrici in problemi algebrici e viceversa. Sul piano cartesiano, infatti, ogni funzione f(x) = y è rappresentata da una linea. Come è noto, i polinomi di primo grado sono rappresentati da linee rette, quelli di grado superiore e le funzioni di altro tipo da linee curve. Proprio in relazione a questo secondo caso sorgono due interessanti problemi. In primo luogo: come calcolare l’area di una figura delimitata da linee curve? Esaminiamo il caso più semplice: quello del trapezoide delimitato dai due assi, da una retta parallela all’asse delle ordinate e da una linea curva di funzione f(x) = y. Ã? facile immaginare un metodo approssimato per calcolare quest’area: basta dividere il trapezoide in sottili rettangoli verticali e sommarne l’area. La base di ognuno di essi sarà parte dell’asse delle ascisse, l’altezza sarà calcolata usando la funzione f(x). Ora, è evidente che quanto maggiore sarà il numero dei rettangoli, tanto più preciso sarà il calcolo dell’area. Ma come calcolare l’area esatta? Bisognerebbe dividere la figura in infiniti rettangoli e sommarne le infinitesime aree. Ã? possibile ciò? In secondo luogo: come calcolare il coefficiente angolare della retta tangente ad un dato punto di una linea curva? Anche qui si può pensare ad un sistema approssimato. Si può scegliere nelle vicinanze dell’ascissa data un’altra ascissa, e calcolare le ordinate corrispondenti. Dividendo la differenza delle due ordinate per la differenza delle due ascisse si avrà — come è noto — il coefficiente angolare della retta passante per i due punti così individuati. Non si tratta però di una tangente, perché essa attraversa la linea curva in due punti. Per ottenere il coefficiente della tangente bisognerebbe rendere infinitamente piccola la distanza tra le due ascisse (e di conseguenza tra le due ordinate), e calcolare il quoziente tra due infinitesimi. Ã? possibile? I due problemi fondamentali del calcolo infinitesimale. Qual è il coefficiente angolare della retta tangente in un punto di ascissa x’ ad una curva f(x) = y? Qual è l’area del trapezoide delimitato dai due assi, dalla retta x = x’ e dalla curva f(x) = y? 2.2. Il calcolo differenziale e integrale Il problema della tangente venne risolto con quello che Leibniz chiamò «calcolo differenziale». Con esso viene ricavata dalla funzione data y una funzione dy/dx (detta «rapporto differenziale», da leggere «de ipsilon su de ics»), dove la d è un operatore che indica il «differenziale» ovvero l’«incremento infinitesimo» delle variabili. Tale funzione esprime dunque il coefficiente angolare della retta tangente al punto di ascissa x della funzione originaria. Nel caso dei polinomi sono sufficienti due semplici regole: d(y + z) / dx = dy / dx + dz / dx d(axn) / dx = anxn-1 La prima regola stabilisce che il dif ()
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Nietzsche e la matematica Che cosa é verità?Inerzia;l’ipotesi che ci rende soddisfatti;il minimo dispendio di forza intellettuale. Nietzsche muove diverse critiche alla matematica nel corso della sua vita, ognuna delle quali ha il suo argomento portante: in “Umano, troppo umano”, l’opera con cui il folgorante profeta del superuomo avvia una vera e propria chimica delle idee, egli scrive a proposito della matematica: ” certamente non sarebbe nata, se si fosse saputo fin da principio che in natura non esiste nè una linea esattamente retta, nè un vero cerchio, nè un’ assoluta misura di grandezza” . Per il pensatore tedesco la matematica indaga in modo certamente rigoroso, ma il suo campo d’azione é orientato in un mondo inesistente, puramente fittizio, dove si può parlare di “linee rette” o di “cerchi”: ora, nel nostro mondo terreno, quel mondo a cui Nietzsche invita a restare fedeli, non si troveranno mai una linea retta o un cerchio precisi; e così la matematica finisce per far presa su un mondo che non il nostro, sul mondo della “fantasia”: essa risulta essere troppo sganciata dalla realtà. Ed ecco allora che Nietzsche arriva alla conclusione che la matematica, la “scoperta delle leggi dei numeri”, derivi da un errore umano, dalla convinzione che esistano “rette precise” o “cose uguali”; e a proposito troviamo scritto, sempre in “Umano, troppo umano”: “La scoperta delle leggi dei numeri é stata fatta in base all’errore già in origine dominante che ci siano più cose uguali (ma in realtà non c’é niente di uguale), o che perlomeno ci siano cose (ma non ci sono ‘cose’). L’ammissione della molteplicità presuppone sempre già che ci sia qualcosa che si presenta come molteplice: ma proprio qui regna già l’errore, qui già fingiamo esseri e unità che non esistono. Le nostre sensazioni di spazio e di tempo sono false, giacchè, vagliate conseguentemente, conducono a contraddizioni logiche. In tutte le determinazioni scientifiche noi calcoliamo sempre inevitabilmente con alcune grandezze false: ma, poichè queste grandezze sono per lo meno costanti, come ad esempio la nostra sensazione dello spazio e del tempo, i risultati della scienza acquistano lo stesso perfetto rigore e sicurezza nella loro reciproca connessione; su di essi si può continuare a costruire- fino a quell’ultimo limite, dove le erronee premesse, quegli errori costanti, riescono in contraddizione con i risultati, come per esempio nella teoria atomica. Qui ci sentiamo ancor sempre costretti ad ammettere una ‘cosa’, o ’substrato’ materiale che viene mosso, mentre l’intera procedurascientifica ha appunto perseguìto il compito di risolvere in movimento tutto ciò che si presenta come una cosa (che é materiale): anche qui noi distinguiamo ancora con la nostra sensazione ciò che muove e ciò che é mosso e non usciamo da questo circolo, perchè la fede nelle cose é fin dall’antichità connessa col nostro essere. Quando Kant dice che ‘l’intelletto non attinge le sue leggi dalla natura, ma le prescrive a questa’, ciò é pienamente vero riguardo al concetto di natura che noi siamo costretti a collegare con essa (natura = mondo come rappresentazione, cioè come errore), che é però il compendio di una moltitudine di errori dell’intelletto. Le leggi dei numeri sono totalmente inapplicabili: esse valgono solo nel mondo umano”. Nietzsche non intende certo mettere in discussione che 2 + 2 = 4, questo non gli interessa; vuol però far vedere come una formula matematica non ci dia alcuna conoscenza, bensì come essa si limiti a descriverci la procedura di un fatto. Nella “Volontà di potenza” egli scrive: “E’ illusione che conosciamo qualcosa quando abbiamo una formula matematica per ciò che avviene: abbiamo solamente indicato, descritto: nulla di più ! ” ()
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La conoscenza matematica Kant muove nell’ Estetica trascendentale una severa polemica alla mathesis universalis , ossia l’ ontologia del mondo matematico , che trovava in Platone il fondatore e in Cartesio e soprattutto in Leibniz due fedeli seguaci . Kant riconosce che la matematica e la filosofia hanno campi d’ azione simili , in quanto entrambe conoscenze a priori , tuttavia sottolinea che l’ una é una conoscenza di costruzione di concetti , mentre l’ altra é una conoscenza di concetti , il che significa che la filosofia non si distingue dalle altre scienze perchè é a priori , mentre le altre sono a posteriori . La vera distinzione tra sapere matematico e sapere filosofico sta nel fatto che la matematica implica sempre un elemento intuitivo , la filosofia no . Quali sono quindi le intuizioni che corrispondono alla matematica? Kant risponde che sono lo spazio e il tempo , forme pure a priori della sensibilità . Per capire questa risposta dobbiamo spiegare la differenza tra intuizione e sensazione . La sensazione ha a che fare solo con il soggetto , l’ intuizione riguarda l’ oggetto . L’ oggettivazione é sostanzialmente una spazializzazione : la molteplicità percepita acquista una prima oggettività perchè unificata e posta nello spazio . Individuare i rapporti spaziali significa dare forma . Lo spazio é quindi condizione di oggettività : oggettivare significa spazializzare . Conoscere un oggetto vuol dire conoscerlo nello spazio e questo spazio non é nè una sostanza nè un accidente nè un concetto , ma il modo stesso in cui i sensi percepiscono i fenomeni . La rappresentazione dell’ estensione simboleggia per la conoscenza la nostra condizione finita . L’ esteriorità pone una distanza non solo tra le nostre impressioni , ma anche dentro noi stessi , é ciò che ci impone di passare attraverso una serie di mezzi prima di giungere ai nostri fini . In quanto corrisponde a una struttura della coscienza finita , essa affida all’ immaginazione il rapporto con la realtà infinita . Le leggi della nostra sensibilità ne costituiscono quindi la forma e questa forma , che si impone necessariamente sulle sensazioni , non può essere essa stessa una sensazione . Kant la chiama intuizione pura . Essa é a priori , il che non significa che essa esiste prima di qualsiasi altra esperienza , ma che é presente in tutte le esperienze . Il tempo e lo spazio non sono allora nè sensazioni , dal momento che tutte le sensazioni li presuppongono , nè concetti , dal momento che non sono pure costruzioni della nostra mente : sono dati dalla sensibilità pura . Nell’ Estetica trascendentale di conseguenza isoleremo innanzitutto la sensibilità , prescindendo da quanto l’ intelletto vi pensa con i suoi concetti , perchè non vi é nient’ altro che l’ intuizione empirica . In secondo luogo allontaneremo da questa intuizione tutto quanto appartiene alla sensazione , perchè non vi é nient’ altro che l’ intuizione pura e semplice , forma dei fenomeni , unica cosa che possa fornire a priori la sensibilità . ( Critica della ragion pura ) . Così si spiega la differenza radicale tra una conoscenza tramite i concetti , come quella metafisica , e una conoscenza tramite la costruzione di concetti , come quella matematica . Per Kant costruire un concetto significa rappresentare a priori l’ intuizione che gli corrisponde . Il che non significa soltanto tracciare una figura sulla lavagna o farsene un’ immagine , dal momento che la figura così disegnata o immaginata non é una vera figura . Le obiezioni rivolte alla concezione kantiana crollano se si comprende che ciò che dà significato alla costruzione sono le definizioni e le dimostrazioni . E quanto vale per la geometria vale pure per l’ algebra : agire sui segni é esattamente come agire sulle figure . Da ciò derivano , spiega Kant , le due caratteristiche ()
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Materia: Matematica
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1847 George Boole inventa la logica matematica Esce a Londra The mathematical analysis of logic del matematico inglese (1815-1864), che ampliando i concetti espressi da Leibniz sviluppa la logica matematica basata sul sistema binario ( composto soltanto da 0 e da 1) e sugli operatori simbolici che permettono di compiere operazioni su queste grandezze. Lì per lì l’opera di Boole non sembrò avere applicazioni, in realtà aprirà l’orizzonte alle grandi scuole di logica matematica del ‘900 e rappresenterà il linguaggio operativo del calcolatore elettronico. ()
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